Resolver {l}{2x+3y-4=0}{x+3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 4 = 0 } \\ { x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+3y=4$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=5).

$$-\frac{3}{2}y+2+3y=5$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta 3y.

$$\frac{3}{2}y+2=5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+2$$

Egin -\frac{3}{2} bider 2.

$$x=-3+2$$

Gehitu 2 eta -3.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-5\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

Egin x+3y=5 ken 2x+3y-4=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-x+3y-3y-4=-5$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-x-4=-5$$

Gehitu 2x eta -x.

$$x-4=-5$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin x+3y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-1+3y=5$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=2$$