Resolver {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=120$$

$$y=180$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=780$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+780$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+780.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+390 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+4y=1320).

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

Egin 5 bider -\frac{3y}{2}+390.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

Gehitu -\frac{15y}{2} eta 4y.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

Egin ken 1950 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+390 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

Egin -\frac{3}{2} bider 180.

$$x=-270+390$$

Gehitu 390 eta -270.

$$x=120$$

Ebatzi da sistema.

$$x=120,y=180$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=120,y=180$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

Sinplifikatu.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

Egin 10x+8y=2640 ken 10x+15y=3900 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-8y=3900-2640$$

Gehitu 15y eta -8y.

$$7y=3900-2640$$

Gehitu 3900 eta -2640.

$$7y=1260$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin 5x+4y=1320 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+4\times 180=1320$$

Egin 4 bider 180.

$$5x+720=1320$$

Egin ken 720 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=600$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=120$$

Ebatzi da sistema.

$$x=120,y=180$$