Resolver {l}{2x+3y=6}{7x-6y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 7 x - 6 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y=\frac{32}{33}\approx 0.96969697$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=6,7x-6y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-6y=5).

$$7\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-6y=5$$

Egin 7 bider -\frac{3y}{2}+3.

$$-\frac{21}{2}y+21-6y=5$$

Gehitu -\frac{21y}{2} eta -6y.

$$-\frac{33}{2}y+21=5$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{33}{2}y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{33}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{32}{33}$$

Ordeztu \frac{32}{33} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{32}{33}+3$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{32}{33}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{16}{11}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{16}{11}.

$$x=\frac{17}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{17}{11},y=\frac{32}{33}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=6,7x-6y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-6\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-6\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-6\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 6+\frac{1}{11}\times 5\\\frac{7}{33}\times 6-\frac{2}{33}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\\frac{32}{33}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{17}{11},y=\frac{32}{33}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=6,7x-6y=5$$

2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 6,2\times 7x+2\left(-6\right)y=2\times 5$$

Sinplifikatu.

$$14x+21y=42,14x-12y=10$$

Egin 14x-12y=10 ken 14x+21y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+21y+12y=42-10$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y+12y=42-10$$

Gehitu 21y eta 12y.

$$33y=42-10$$

Gehitu 42 eta -10.

$$33y=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin.

$$y=\frac{32}{33}$$

Ordeztu \frac{32}{33} y balioarekin 7x-6y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-6\times \frac{32}{33}=5$$

Egin -6 bider \frac{32}{33}.

$$7x-\frac{64}{11}=5$$

Gehitu \frac{64}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=\frac{119}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{17}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{17}{11},y=\frac{32}{33}$$