Resolver {l}{2x+3y=4}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=4$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=7).

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+2y=7$$

Egin 3 bider -\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+2y=7$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta 2y.

$$-\frac{5}{2}y+6=7$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ordeztu -\frac{2}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{5}\right)+2$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{2}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{5}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{3}{5}.

$$x=\frac{13}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 7$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y=12,6x+4y=14$$

Egin 6x+4y=14 ken 6x+9y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y-4y=12-14$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-4y=12-14$$

Gehitu 9y eta -4y.

$$5y=12-14$$

Gehitu 12 eta -14.

$$5y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ordeztu -\frac{2}{5} y balioarekin 3x+2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

Egin 2 bider -\frac{2}{5}.

$$3x-\frac{4}{5}=7$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{39}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{13}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$