Resolver {l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=38$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+38.

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+19 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+2y=21).

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

Egin -3 bider -\frac{3y}{2}+19.

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 2y.

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

Gehitu 57 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=78$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

Egin -\frac{3}{2} bider 12.

$$x=-18+19$$

Gehitu 19 eta -18.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

2x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

Sinplifikatu.

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

Egin -6x+4y=42 ken -6x-9y=-114 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-4y=-114-42$$

Gehitu -9y eta -4y.

$$-13y=-114-42$$

Gehitu -114 eta -42.

$$-13y=-156$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin -3x+2y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+2\times 12=21$$

Egin 2 bider 12.

$$-3x+24=21$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=12$$