Resolver {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+2y=10$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -2y+10.

$$x=-y+5$$

Ordeztu -y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20).

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=70$$

Ordeztu 70 y balioarekin x=-y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-70+5$$

Gehitu 5 eta -70.

$$x=-65$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-65,y=70$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-65,y=70$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

2x eta \frac{x}{2} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Sinplifikatu.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Egin x+\frac{3}{2}y=40 ken x+y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Gehitu y eta -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

Gehitu 5 eta -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=70$$

Ordeztu 70 y balioarekin \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

Egin \frac{3}{4} bider 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Egin ken \frac{105}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-65$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-65,y=70$$