Resolver {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi p. Horretarako, isolatu p berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2p+3x=10$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2p=-3x+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Ordeztu -\frac{3x}{2}+5 balioa p balioarekin beste ekuazioan (p-x+2=0).

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Gehitu 5 eta 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{14}{5}$$

Ordeztu \frac{14}{5} x balioarekin p=-\frac{3}{2}x+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{14}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera p eta x matrize-elementuak.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

2p eta p berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Sinplifikatu.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Egin 2p-2x+4=0 ken 2p+3x=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Gehitu 2p eta -2p. Sinplifikatu egiten dira 2p eta -2p. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x+2x-4=10$$

Gehitu 3x eta 2x.

$$5x-4=10$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{14}{5}$$

Ordeztu \frac{14}{5} x balioarekin p-x+2=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Gehitu -\frac{14}{5} eta 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$