Resolver {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4n bi aldeetatik.

$$-m+5-4n=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-m-4n=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2m-3n=130$$

Gehitu 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=3n+130$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Ordeztu \frac{3n}{2}+65 balioa m balioarekin beste ekuazioan (-m-4n=-5).

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Egin -1 bider \frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Gehitu -\frac{3n}{2} eta -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Gehitu 65 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Ordeztu -\frac{120}{11} n balioarekin m=\frac{3}{2}n+65 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{120}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Gehitu 65 eta -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4n bi aldeetatik.

$$-m+5-4n=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-m-4n=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4n bi aldeetatik.

$$-m+5-4n=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-m-4n=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m eta -m berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Egin -2m-8n=-10 ken -2m+3n=-130 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Gehitu -2m eta 2m. Sinplifikatu egiten dira -2m eta 2m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3n+8n=-130+10$$

Gehitu 3n eta 8n.

$$11n=-130+10$$

Gehitu -130 eta 10.

$$11n=-120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Ordeztu -\frac{120}{11} n balioarekin -m-4n=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Egin -4 bider -\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Egin ken \frac{480}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$m=\frac{535}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$