Resolver {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2m+3n=1$$

Egin ken 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=-3n+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-3n+1}{2} balioa m balioarekin beste ekuazioan (7m+3n=6).

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

Egin 7 bider \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

Gehitu -\frac{21n}{2} eta 3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{15}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} n balioarekin m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{1}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{1}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=1$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Egin 7m+3n=6 ken 2m+3n=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

Gehitu 3n eta -3n. Sinplifikatu egiten dira 3n eta -3n. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2m-7m=1-6$$

Gehitu 2m eta -7m.

$$-5m=1-6$$

Gehitu 1 eta -6.

$$-5m=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$m=1$$

Ordeztu 1 m balioarekin 7m+3n=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, n ebatz dezakezu zuzenean.

$$7+3n=6$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$