Resolver {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2m+3n=1$$

Egin ken 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=-3n+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-3n+1}{2} balioa m balioarekin beste ekuazioan (\frac{5}{3}m-2n=1).

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Egin \frac{5}{3} bider \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Gehitu -\frac{5n}{2} eta -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Egin ken \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Ordeztu -\frac{1}{27} n balioarekin m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{1}{27}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{1}{18} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{5}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m eta \frac{5m}{3} berdintzeko, biderkatu \frac{5}{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Sinplifikatu.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Egin \frac{10}{3}m-4n=2 ken \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Gehitu \frac{10m}{3} eta -\frac{10m}{3}. Sinplifikatu egiten dira \frac{10m}{3} eta -\frac{10m}{3}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Gehitu 5n eta 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Ordeztu -\frac{1}{27} n balioarekin \frac{5}{3}m-2n=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Egin -2 bider -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Egin ken \frac{2}{27} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$m=\frac{5}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$