Resolver {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2ax+by=14$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2a balioarekin.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Egin \frac{1}{2a} bider -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+14}{2a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+9y=-19).

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Egin -2 bider \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Gehitu \frac{by}{a} eta 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Gehitu \frac{14}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9+\frac{b}{a} balioarekin.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Ordeztu \frac{14-19a}{9a+b} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Egin -\frac{b}{2a} bider \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Gehitu \frac{7}{a} eta -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Sinplifikatu.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Egin \left(-4a\right)x+18ay=-38a ken \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Gehitu -4ax eta 4ax. Sinplifikatu egiten dira -4ax eta 4ax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Gehitu -2by eta -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Gehitu -28 eta 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2b-18a balioarekin.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Ordeztu -\frac{-14+19a}{b+9a} y balioarekin -2x+9y=-19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Egin 9 bider -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Gehitu \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2ax+by=14$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2a balioarekin.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Egin \frac{1}{2a} bider -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+14}{2a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+9y=-19).

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Egin -2 bider \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Gehitu \frac{by}{a} eta 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Gehitu \frac{14}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9+\frac{b}{a} balioarekin.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Ordeztu \frac{14-19a}{9a+b} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Egin -\frac{b}{2a} bider \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Gehitu \frac{7}{a} eta -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Sinplifikatu.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Egin \left(-4a\right)x+18ay=-38a ken \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Gehitu -4ax eta 4ax. Sinplifikatu egiten dira -4ax eta 4ax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Gehitu -2by eta -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Gehitu -28 eta 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2b-18a balioarekin.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Ordeztu -\frac{-14+19a}{b+9a} y balioarekin -2x+9y=-19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Egin 9 bider -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Gehitu \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$