Resolver {l}{2a_{1}+d=20}{2a_{1}+5d=80}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a _ { 1 } + d = 20 } \\ { 2 a _ { 1 } + 5 d = 80 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a_1, d

$$a_{1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$d=15$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a_{1}. Horretarako, isolatu a_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a_{1}+d=20$$

Egin ken d ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a_{1}=-d+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a_{1}=\frac{1}{2}\left(-d+20\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -d+20.

$$a_{1}=-\frac{1}{2}d+10$$

Ordeztu -\frac{d}{2}+10 balioa a_{1} balioarekin beste ekuazioan (2a_{1}+5d=80).

$$2\left(-\frac{1}{2}d+10\right)+5d=80$$

Egin 2 bider -\frac{d}{2}+10.

$$-d+20+5d=80$$

Gehitu -d eta 5d.

$$4d+20=80$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4d=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$d=15$$

Ordeztu 15 d balioarekin a_{1}=-\frac{1}{2}d+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$a_{1}=-\frac{1}{2}\times 15+10$$

Egin -\frac{1}{2} bider 15.

$$a_{1}=-\frac{15}{2}+10$$

Gehitu 10 eta -\frac{15}{2}.

$$a_{1}=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-2}&-\frac{1}{2\times 5-2}\\-\frac{2}{2\times 5-2}&\frac{2}{2\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 20-\frac{1}{8}\times 80\\-\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 80\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\15\end{matrix}\right)$$

Atera a_{1} eta d matrize-elementuak.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Egin 2a_{1}+5d=80 ken 2a_{1}+d=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a_{1}-2a_{1}+d-5d=20-80$$

Gehitu 2a_{1} eta -2a_{1}. Sinplifikatu egiten dira 2a_{1} eta -2a_{1}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$d-5d=20-80$$

Gehitu d eta -5d.

$$-4d=20-80$$

Gehitu 20 eta -80.

$$-4d=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$d=15$$

Ordeztu 15 d balioarekin 2a_{1}+5d=80 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a_{1}+5\times 15=80$$

Egin 5 bider 15.

$$2a_{1}+75=80$$

Egin ken 75 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a_{1}=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a_{1}=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$