Resolver {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$2a-3b=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a-3b=0$$

Gehitu 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=3b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Egin \frac{1}{2} bider 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Ordeztu \frac{3b}{2} balioa a balioarekin beste ekuazioan (7a+2b=200).

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Egin 7 bider \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Gehitu \frac{21b}{2} eta 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{25}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=16$$

Ordeztu 16 b balioarekin a=\frac{3}{2}b ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Egin \frac{3}{2} bider 16.

$$a=24$$

Ebatzi da sistema.

$$a=24,b=16$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$2a-3b=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=24,b=16$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$2a-3b=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

2a eta 7a berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Sinplifikatu.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Egin 14a+4b=400 ken 14a-21b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Gehitu 14a eta -14a. Sinplifikatu egiten dira 14a eta -14a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-21b-4b=-400$$

Gehitu -21b eta -4b.

$$-25b=-400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$b=16$$

Ordeztu 16 b balioarekin 7a+2b=200 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$7a+2\times 16=200$$

Egin 2 bider 16.

$$7a+32=200$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7a=168$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$a=24$$

Ebatzi da sistema.

$$a=24,b=16$$