Resolver {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a+3b=4$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-3b+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Ordeztu -\frac{3b}{2}+2 balioa a balioarekin beste ekuazioan (-2a+3b=-16).

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Egin -2 bider -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Gehitu 3b eta 3b.

$$6b-4=-16$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6b=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$b=-2$$

Ordeztu -2 b balioarekin a=-\frac{3}{2}b+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Egin -\frac{3}{2} bider -2.

$$a=3+2$$

Gehitu 2 eta 3.

$$a=5$$

Ebatzi da sistema.

$$a=5,b=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=5,b=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Egin -2a+3b=-16 ken 2a+3b=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Gehitu 3b eta -3b. Sinplifikatu egiten dira 3b eta -3b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2a+2a=4+16$$

Gehitu 2a eta 2a.

$$4a=4+16$$

Gehitu 4 eta 16.

$$4a=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a=5$$

Ordeztu 5 a balioarekin -2a+3b=-16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Egin -2 bider 5.

$$-10+3b=-16$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3b=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$b=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=5,b=-2$$