Resolver {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 6x+3 biderkatzeko.

$$2-y=12x+6+y$$

Kendu 12x bi aldeetatik.

$$2-y-12x=6+y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu -y eta -y.

$$2-2y-12x=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$-2y-12x=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$-2y-12x=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+4-3y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2y-12x=4$$

Gehitu 12x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=12x+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider 12x+4.

$$y=-6x-2$$

Ordeztu -6x-2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+x=-4).

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Egin -3 bider -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

Gehitu 18x eta x.

$$19x+6=-4$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Ordeztu -\frac{10}{19} x balioarekin y=-6x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Egin -6 bider -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 6x+3 biderkatzeko.

$$2-y=12x+6+y$$

Kendu 12x bi aldeetatik.

$$2-y-12x=6+y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu -y eta -y.

$$2-2y-12x=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$-2y-12x=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$-2y-12x=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+4-3y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 6x+3 biderkatzeko.

$$2-y=12x+6+y$$

Kendu 12x bi aldeetatik.

$$2-y-12x=6+y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu -y eta -y.

$$2-2y-12x=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$-2y-12x=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$-2y-12x=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+4-3y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y eta -3y berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Egin 6y-2x=8 ken 6y+36x=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36x+2x=-12-8$$

Gehitu 36x eta 2x.

$$38x=-12-8$$

Gehitu -12 eta -8.

$$38x=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 38 balioarekin.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Ordeztu -\frac{10}{19} x balioarekin -3y+x=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Gehitu \frac{10}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$