Resolver {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+3 biderkatzeko.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 lortzeko, gehitu 3 eta 1.

$$2x+6=3y+4$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+6-3y=4$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x-3y=4-6$$

-2 lortzeko, 4 balioari kendu 6.

$$2x-3y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y-1 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-1 lortzeko, gehitu -4 eta 3.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-3y-3=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$x-3y=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$x-3y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Ordeztu \frac{3y}{2}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=2).

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Egin \frac{3}{2} bider -2.

$$x=-3-1$$

Gehitu -1 eta -3.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+3 biderkatzeko.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 lortzeko, gehitu 3 eta 1.

$$2x+6=3y+4$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+6-3y=4$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x-3y=4-6$$

-2 lortzeko, 4 balioari kendu 6.

$$2x-3y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y-1 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-1 lortzeko, gehitu -4 eta 3.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-3y-3=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$x-3y=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$x-3y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+3 biderkatzeko.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 lortzeko, gehitu 3 eta 1.

$$2x+6=3y+4$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+6-3y=4$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x-3y=4-6$$

-2 lortzeko, 4 balioari kendu 6.

$$2x-3y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y-1 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-1 lortzeko, gehitu -4 eta 3.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-3y-3=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$x-3y=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$x-3y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Egin x-3y=2 ken 2x-3y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Gehitu -3y eta 3y. Sinplifikatu egiten dira -3y eta 3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-x=-2-2$$

Gehitu 2x eta -x.

$$x=-2-2$$

Gehitu -2 eta -2.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin x-3y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4-3y=2$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-2$$