Resolver {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Egin 2 bider x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Egin -3 bider y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Gehitu 4 eta 3.

$$2x-3y+7=13$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x-3y=6$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9).

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Gehitu 3 eta 2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Egin 3 bider \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

Egin 5 bider y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Gehitu 15 eta -5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11}{5} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{11}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Gehitu 3 eta \frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Sinplifikatu lehenengo ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Egin 2 bider x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Egin -3 bider y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Gehitu 4 eta 3.

$$2x-3y+7=13$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x-3y=6$$

Sinplifikatu bigarren ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Egin 3 bider x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

Egin 5 bider y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Gehitu 6 eta -5.

$$3x+5y+1=30.9$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x+5y=29.9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$