Resolver {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-4 biderkatzeko.

$$6x-8+3y=31$$

Gehitu 8 bi aldeetan.

$$6x+3y=31+8$$

39 lortzeko, gehitu 31 eta 8.

$$6x+3y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (2,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-2y=50$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+3y=39$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-3y+39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+13}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-2y=50).

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Egin 5 bider \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Gehitu -\frac{5y}{2} eta -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Egin ken \frac{65}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Ordeztu -\frac{35}{9} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{35}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Gehitu \frac{13}{2} eta \frac{35}{18} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{76}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-4 biderkatzeko.

$$6x-8+3y=31$$

Gehitu 8 bi aldeetan.

$$6x+3y=31+8$$

39 lortzeko, gehitu 31 eta 8.

$$6x+3y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (2,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-2y=50$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-4 biderkatzeko.

$$6x-8+3y=31$$

Gehitu 8 bi aldeetan.

$$6x+3y=31+8$$

39 lortzeko, gehitu 31 eta 8.

$$6x+3y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (2,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-2y=50$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Sinplifikatu.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Egin 30x-12y=300 ken 30x+15y=195 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Gehitu 30x eta -30x. Sinplifikatu egiten dira 30x eta -30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y+12y=195-300$$

Gehitu 15y eta 12y.

$$27y=195-300$$

Gehitu 195 eta -300.

$$27y=-105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 27 balioarekin.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Ordeztu -\frac{35}{9} y balioarekin 5x-2y=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Egin -2 bider -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Egin ken \frac{70}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{76}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$