Resolver {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Egin 2 bider 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Egin 3 bider y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Gehitu -6 eta 12.

$$4x+3y+6=7$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x+3y=1$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y+1}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3).

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Gehitu \frac{1}{4} eta 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Egin 4 bider \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Egin -5 bider -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Gehitu -3y eta 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Gehitu 9 eta -10.

$$2y-1=-3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Sinplifikatu lehenengo ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Egin 2 bider 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Egin 3 bider y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Gehitu -6 eta 12.

$$4x+3y+6=7$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x+3y=1$$

Sinplifikatu bigarren ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Egin 4 bider x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Egin -5 bider -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Gehitu 8 eta -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x+5y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$