Resolver {l}{1995x+1997y=5989}{1997x+1995y=5987}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1995 x + 1997 y = 5989 } \\ { 1997 x + 1995 y = 5987 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$1995x+1997y=5989$$

Egin ken 1997y ekuazioaren bi aldeetan.

$$1995x=-1997y+5989$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1995 balioarekin.

$$x=\frac{1}{1995}\left(-1997y+5989\right)$$

Egin \frac{1}{1995} bider -1997y+5989.

$$x=-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995}$$

Ordeztu \frac{-1997y+5989}{1995} balioa x balioarekin beste ekuazioan (1997x+1995y=5987).

$$1997\left(-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995}\right)+1995y=5987$$

Egin 1997 bider \frac{-1997y+5989}{1995}.

$$-\frac{3988009}{1995}y+\frac{11960033}{1995}+1995y=5987$$

Gehitu -\frac{3988009y}{1995} eta 1995y.

$$-\frac{7984}{1995}y+\frac{11960033}{1995}=5987$$

Egin ken \frac{11960033}{1995} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7984}{1995}y=-\frac{15968}{1995}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7984}{1995} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1997}{1995}\times 2+\frac{5989}{1995}$$

Egin -\frac{1997}{1995} bider 2.

$$x=\frac{-3994+5989}{1995}$$

Gehitu \frac{5989}{1995} eta -\frac{3994}{1995} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1995}{1995\times 1995-1997\times 1997}&-\frac{1997}{1995\times 1995-1997\times 1997}\\-\frac{1997}{1995\times 1995-1997\times 1997}&\frac{1995}{1995\times 1995-1997\times 1997}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1995}{7984}&\frac{1997}{7984}\\\frac{1997}{7984}&-\frac{1995}{7984}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1995}{7984}\times 5989+\frac{1997}{7984}\times 5987\\\frac{1997}{7984}\times 5989-\frac{1995}{7984}\times 5987\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

1995x eta 1997x berdintzeko, biderkatu 1997 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1995 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$1997\times 1995x+1997\times 1997y=1997\times 5989,1995\times 1997x+1995\times 1995y=1995\times 5987$$

Sinplifikatu.

$$3984015x+3988009y=11960033,3984015x+3980025y=11944065$$

Egin 3984015x+3980025y=11944065 ken 3984015x+3988009y=11960033 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3984015x-3984015x+3988009y-3980025y=11960033-11944065$$

Gehitu 3984015x eta -3984015x. Sinplifikatu egiten dira 3984015x eta -3984015x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3988009y-3980025y=11960033-11944065$$

Gehitu 3988009y eta -3980025y.

$$7984y=11960033-11944065$$

Gehitu 11960033 eta -11944065.

$$7984y=15968$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7984 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 1997x+1995y=5987 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1997x+1995\times 2=5987$$

Egin 1995 bider 2.

$$1997x+3990=5987$$

Egin ken 3990 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1997x=1997$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1997 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$