Resolver {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$16m+50n=55$$

Egin ken 50n ekuazioaren bi aldeetan.

$$16m=-50n+55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Egin \frac{1}{16} bider -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Ordeztu -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} balioa m balioarekin beste ekuazioan (2m+4n=5).

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Egin 2 bider -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Gehitu -\frac{25n}{4} eta 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Egin ken \frac{55}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=\frac{5}{6}$$

Ordeztu \frac{5}{6} n balioarekin m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Egin -\frac{25}{8} bider \frac{5}{6}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Gehitu \frac{55}{16} eta -\frac{125}{48} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m eta 2m berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 16 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Sinplifikatu.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Egin 32m+64n=80 ken 32m+100n=110 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Gehitu 32m eta -32m. Sinplifikatu egiten dira 32m eta -32m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$100n-64n=110-80$$

Gehitu 100n eta -64n.

$$36n=110-80$$

Gehitu 110 eta -80.

$$36n=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36 balioarekin.

$$n=\frac{5}{6}$$

Ordeztu \frac{5}{6} n balioarekin 2m+4n=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Egin 4 bider \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$