Resolver {l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$14x-3y=-63$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$14x=3y-63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

Egin \frac{1}{14} bider -63+3y.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=-7).

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

Egin 7 bider \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 2y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

Gehitu \frac{63}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

Egin \frac{3}{14} bider 7.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

Gehitu -\frac{9}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

14x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 14 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

Sinplifikatu.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

Egin 98x+28y=-98 ken 98x-21y=-441 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

Gehitu 98x eta -98x. Sinplifikatu egiten dira 98x eta -98x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-21y-28y=-441+98$$

Gehitu -21y eta -28y.

$$-49y=-441+98$$

Gehitu -441 eta 98.

$$-49y=-343$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -49 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin 7x+2y=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+2\times 7=-7$$

Egin 2 bider 7.

$$7x+14=-7$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=7$$