Resolver {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$125x+110y=6100$$

Egin ken 110y ekuazioaren bi aldeetan.

$$125x=-110y+6100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 125 balioarekin.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

Egin \frac{1}{125} bider -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

Ordeztu -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=50).

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

Gehitu -\frac{22y}{25} eta y.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

Egin ken \frac{244}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

Egin -\frac{22}{25} bider 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Gehitu \frac{244}{5} eta -\frac{44}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=40,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 125 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Sinplifikatu.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

Egin 125x+125y=6250 ken 125x+110y=6100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

Gehitu 125x eta -125x. Sinplifikatu egiten dira 125x eta -125x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$110y-125y=6100-6250$$

Gehitu 110y eta -125y.

$$-15y=6100-6250$$

Gehitu 6100 eta -6250.

$$-15y=-150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x+y=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+10=50$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=10$$