Resolver {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$11x+19y=25$$

Egin ken 19y ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=-19y+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Egin \frac{1}{11} bider -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Ordeztu \frac{-19y+25}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (19x+11y=15).

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Egin 19 bider \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Gehitu -\frac{361y}{11} eta 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Egin ken \frac{475}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{240}{11} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{31}{24}$$

Ordeztu \frac{31}{24} y balioarekin x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Egin -\frac{19}{11} bider \frac{31}{24}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Gehitu \frac{25}{11} eta -\frac{589}{264} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x eta 19x berdintzeko, biderkatu 19 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 11 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Sinplifikatu.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Egin 209x+121y=165 ken 209x+361y=475 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Gehitu 209x eta -209x. Sinplifikatu egiten dira 209x eta -209x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$361y-121y=475-165$$

Gehitu 361y eta -121y.

$$240y=475-165$$

Gehitu 475 eta -165.

$$240y=310$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 240 balioarekin.

$$y=\frac{31}{24}$$

Ordeztu \frac{31}{24} y balioarekin 19x+11y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Egin 11 bider \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Egin ken \frac{341}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$x=\frac{1}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$