Resolver {l}{10y+2x=16}{x=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 y + 2 x = 16 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10y+2x=16$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=-2x+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=\frac{1}{10}\left(-2x+16\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -2x+16.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{-x+8}{5} balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+x=0).

$$-3\left(-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}\right)+x=0$$

Egin -3 bider \frac{-x+8}{5}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}+x=0$$

Gehitu \frac{3x}{5} eta x.

$$\frac{8}{5}x-\frac{24}{5}=0$$

Gehitu \frac{24}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{5}x=\frac{24}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{8}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider 3.

$$y=\frac{-3+8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta -\frac{3}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 16\\\frac{3}{16}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

10y eta -3y berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 10y-3\times 2x=-3\times 16,10\left(-3\right)y+10x=0$$

Sinplifikatu.

$$-30y-6x=-48,-30y+10x=0$$

Egin -30y+10x=0 ken -30y-6x=-48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-30y+30y-6x-10x=-48$$

Gehitu -30y eta 30y. Sinplifikatu egiten dira -30y eta 30y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6x-10x=-48$$

Gehitu -6x eta -10x.

$$-16x=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin -3y+x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3y+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=3$$