Resolver {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$10x+y-6y=5$$

-5y lortzeko, konbinatu y eta -6y.

$$10x-5y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x lortzeko, konbinatu x eta -10x.

$$10y-9x=y+27$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$10y-9x-y=27$$

9y lortzeko, konbinatu 10y eta -y.

$$9y-9x=27$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x-5y=5$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=5y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1+y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+9y=27).

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Egin -9 bider \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Gehitu \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$10x+y-6y=5$$

-5y lortzeko, konbinatu y eta -6y.

$$10x-5y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x lortzeko, konbinatu x eta -10x.

$$10y-9x=y+27$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$10y-9x-y=27$$

9y lortzeko, konbinatu 10y eta -y.

$$9y-9x=27$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$10x+y-6y=5$$

-5y lortzeko, konbinatu y eta -6y.

$$10x-5y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x lortzeko, konbinatu x eta -10x.

$$10y-9x=y+27$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$10y-9x-y=27$$

9y lortzeko, konbinatu 10y eta -y.

$$9y-9x=27$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Sinplifikatu.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Egin -90x+90y=270 ken -90x+45y=-45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Gehitu -90x eta 90x. Sinplifikatu egiten dira -90x eta 90x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$45y-90y=-45-270$$

Gehitu 45y eta -90y.

$$-45y=-45-270$$

Gehitu -45 eta -270.

$$-45y=-315$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -45 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin -9x+9y=27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x+9\times 7=27$$

Egin 9 bider 7.

$$-9x+63=27$$

Egin ken 63 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=7$$