Resolver {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+5y=170$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-5y+170$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+17 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+10y=200).

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Egin 6 bider -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Gehitu -3y eta 10y.

$$7y+102=200$$

Egin ken 102 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=98$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=14$$

Ordeztu 14 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Egin -\frac{1}{2} bider 14.

$$x=-7+17$$

Gehitu 17 eta -7.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=14$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=14$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Sinplifikatu.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Egin 60x+100y=2000 ken 60x+30y=1020 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Gehitu 60x eta -60x. Sinplifikatu egiten dira 60x eta -60x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$30y-100y=1020-2000$$

Gehitu 30y eta -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Gehitu 1020 eta -2000.

$$-70y=-980$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -70 balioarekin.

$$y=14$$

Ordeztu 14 y balioarekin 6x+10y=200 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+10\times 14=200$$

Egin 10 bider 14.

$$6x+140=200$$

Egin ken 140 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=14$$