Resolver {l}{10x+18y=-1}{16x-9y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 18 y = - 1 } \\ { 16 x - 9 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{11}{42}\approx -0.261904762$$

$$y=\frac{17}{189}\approx 0.08994709$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+18y=-1$$

Egin ken 18y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-18y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-18y-1\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -18y-1.

$$x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}$$

Ordeztu -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10} balioa x balioarekin beste ekuazioan (16x-9y=-5).

$$16\left(-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}\right)-9y=-5$$

Egin 16 bider -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}.

$$-\frac{144}{5}y-\frac{8}{5}-9y=-5$$

Gehitu -\frac{144y}{5} eta -9y.

$$-\frac{189}{5}y-\frac{8}{5}=-5$$

Gehitu \frac{8}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{189}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{189}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{17}{189}$$

Ordeztu \frac{17}{189} y balioarekin x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{5}\times \frac{17}{189}-\frac{1}{10}$$

Egin -\frac{9}{5} bider \frac{17}{189}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{17}{105}-\frac{1}{10}$$

Gehitu -\frac{1}{10} eta -\frac{17}{105} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{11}{42}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10\left(-9\right)-18\times 16}&-\frac{18}{10\left(-9\right)-18\times 16}\\-\frac{16}{10\left(-9\right)-18\times 16}&\frac{10}{10\left(-9\right)-18\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{21}\\\frac{8}{189}&-\frac{5}{189}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-1\right)+\frac{1}{21}\left(-5\right)\\\frac{8}{189}\left(-1\right)-\frac{5}{189}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{42}\\\frac{17}{189}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

10x eta 16x berdintzeko, biderkatu 16 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$16\times 10x+16\times 18y=16\left(-1\right),10\times 16x+10\left(-9\right)y=10\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$160x+288y=-16,160x-90y=-50$$

Egin 160x-90y=-50 ken 160x+288y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$160x-160x+288y+90y=-16+50$$

Gehitu 160x eta -160x. Sinplifikatu egiten dira 160x eta -160x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$288y+90y=-16+50$$

Gehitu 288y eta 90y.

$$378y=-16+50$$

Gehitu -16 eta 50.

$$378y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 378 balioarekin.

$$y=\frac{17}{189}$$

Ordeztu \frac{17}{189} y balioarekin 16x-9y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$16x-9\times \frac{17}{189}=-5$$

Egin -9 bider \frac{17}{189}.

$$16x-\frac{17}{21}=-5$$

Gehitu \frac{17}{21} ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x=-\frac{88}{21}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=-\frac{11}{42}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$