Resolver {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Gehitu \frac{7y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.5x=3.5y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{7y-10}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-1.2x+2.5y=1).

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

Egin -1.2 bider \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Gehitu -\frac{14y}{5} eta \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

Egin \frac{7}{3} bider 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Gehitu -\frac{10}{3} eta \frac{70}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=20,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=20,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

\frac{3x}{2} eta -\frac{6x}{5} berdintzeko, biderkatu -1.2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Sinplifikatu.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

Egin -1.8x+3.75y=1.5 ken -1.8x+4.2y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Gehitu -\frac{9x}{5} eta \frac{9x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{9x}{5} eta \frac{9x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Gehitu \frac{21y}{5} eta -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Gehitu 6 eta -1.5.

$$0.45y=4.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.45 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin -1.2x+2.5y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

Egin 2.5 bider 10.

$$-1.2x+25=1$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-1.2x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1.2 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=20,y=10$$