Resolver {l}{0.6x+0.5y=9400}{0.4x-0.5y=1600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.6 x + 0.5 y = 9400 } \\ { 0.4 x - 0.5 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=11000$$

$$y=5600$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.6x+0.5y=9400$$

Egin ken \frac{y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.6x=-0.5y+9400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{5}{3}\left(-0.5y+9400\right)$$

Egin \frac{5}{3} bider -\frac{y}{2}+9400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}$$

Ordeztu -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.4x-0.5y=1600).

$$0.4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}\right)-0.5y=1600$$

Egin 0.4 bider -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{18800}{3}-0.5y=1600$$

Gehitu -\frac{y}{3} eta -\frac{y}{2}.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{18800}{3}=1600$$

Egin ken \frac{18800}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{6}y=-\frac{14000}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5600$$

Ordeztu 5600 y balioarekin x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{6}\times 5600+\frac{47000}{3}$$

Egin -\frac{5}{6} bider 5600.

$$x=\frac{-14000+47000}{3}$$

Gehitu \frac{47000}{3} eta -\frac{14000}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=11000$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11000,y=5600$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&\frac{0.6}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400+1600\\0.8\times 9400-1.2\times 1600\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11000\\5600\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=11000,y=5600$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

\frac{3x}{5} eta \frac{2x}{5} berdintzeko, biderkatu 0.4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.4\times 0.6x+0.4\times 0.5y=0.4\times 9400,0.6\times 0.4x+0.6\left(-0.5\right)y=0.6\times 1600$$

Sinplifikatu.

$$0.24x+0.2y=3760,0.24x-0.3y=960$$

Egin 0.24x-0.3y=960 ken 0.24x+0.2y=3760 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.24x-0.24x+0.2y+0.3y=3760-960$$

Gehitu \frac{6x}{25} eta -\frac{6x}{25}. Sinplifikatu egiten dira \frac{6x}{25} eta -\frac{6x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.2y+0.3y=3760-960$$

Gehitu \frac{y}{5} eta \frac{3y}{10}.

$$0.5y=3760-960$$

Gehitu 3760 eta -960.

$$0.5y=2800$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=5600$$

Ordeztu 5600 y balioarekin 0.4x-0.5y=1600 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.4x-0.5\times 5600=1600$$

Egin -0.5 bider 5600.

$$0.4x-2800=1600$$

Gehitu 2800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.4x=4400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=11000$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11000,y=5600$$