Resolver {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x-0.8y=-5$$

Gehitu \frac{4y}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x=0.8y-5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

Egin 2 bider \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

Ordeztu \frac{8y}{5}-10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4).

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

Egin \frac{1}{3} bider \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Gehitu \frac{8y}{15} eta \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Gehitu \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{15} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=1.6y-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=1.6\times 10-10$$

Egin 1.6 bider 10.

$$x=16-10$$

Gehitu -10 eta 16.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{x}{2} eta \frac{x}{3} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

Egin \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 ken \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Gehitu \frac{x}{6} eta -\frac{x}{6}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{6} eta -\frac{x}{6}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Gehitu -\frac{4y}{15} eta -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{30} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

Egin \frac{1}{5} bider 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}x=2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=10$$