Resolver {l}{0.5x-0.3y=-0.2}{-0.7x+0.4y=0.4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.3 y = - 0.2 } \\ { - 0.7 x + 0.4 y = 0.4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.5x-0.3y=-0.2,-0.7x+0.4y=0.4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.5x-0.3y=-0.2$$

Gehitu \frac{3y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x=0.3y-0.2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(0.3y-0.2\right)$$

Egin 2 bider \frac{3y}{10}-0.2.

$$x=0.6y-0.4$$

Ordeztu \frac{3y-2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.7x+0.4y=0.4).

$$-0.7\left(0.6y-0.4\right)+0.4y=0.4$$

Egin -0.7 bider \frac{3y-2}{5}.

$$-0.42y+0.28+0.4y=0.4$$

Gehitu -\frac{21y}{50} eta \frac{2y}{5}.

$$-0.02y+0.28=0.4$$

Egin ken 0.28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.02y=0.12$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -50 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=0.6y-0.4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0.6\left(-6\right)-0.4$$

Egin 0.6 bider -6.

$$x=\frac{-18-2}{5}$$

Gehitu -0.4 eta -3.6 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.5x-0.3y=-0.2,-0.7x+0.4y=0.4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.3\\-0.7&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-\left(-0.3\left(-0.7\right)\right)}&-\frac{-0.3}{0.5\times 0.4-\left(-0.3\left(-0.7\right)\right)}\\-\frac{-0.7}{0.5\times 0.4-\left(-0.3\left(-0.7\right)\right)}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-\left(-0.3\left(-0.7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40&-30\\-70&-50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\left(-0.2\right)-30\times 0.4\\-70\left(-0.2\right)-50\times 0.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.5x-0.3y=-0.2,-0.7x+0.4y=0.4$$

\frac{x}{2} eta -\frac{7x}{10} berdintzeko, biderkatu -0.7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.7\times 0.5x-0.7\left(-0.3\right)y=-0.7\left(-0.2\right),0.5\left(-0.7\right)x+0.5\times 0.4y=0.5\times 0.4$$

Sinplifikatu.

$$-0.35x+0.21y=0.14,-0.35x+0.2y=0.2$$

Egin -0.35x+0.2y=0.2 ken -0.35x+0.21y=0.14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.35x+0.35x+0.21y-0.2y=0.14-0.2$$

Gehitu -\frac{7x}{20} eta \frac{7x}{20}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{7x}{20} eta \frac{7x}{20}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.21y-0.2y=0.14-0.2$$

Gehitu \frac{21y}{100} eta -\frac{y}{5}.

$$0.01y=0.14-0.2$$

Gehitu 0.14 eta -0.2 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.01y=-0.06$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 100 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin -0.7x+0.4y=0.4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.7x+0.4\left(-6\right)=0.4$$

Egin 0.4 bider -6.

$$-0.7x-2.4=0.4$$

Gehitu 2.4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.7x=2.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-6$$