Resolver {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.2y bi aldeetatik.

$$0.9x-0.2y=19$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.3x-0.5y=29$$

Gehitu \frac{y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.3x=0.5y+29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

Egin \frac{10}{3} bider \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

Ordeztu \frac{5y+290}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.9x-0.2y=19).

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

Egin 0.9 bider \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

Egin ken 87 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.3y=-68$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Ordeztu -\frac{680}{13} y balioarekin x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider -\frac{680}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

Gehitu \frac{290}{3} eta -\frac{3400}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{370}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.2y bi aldeetatik.

$$0.9x-0.2y=19$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.2y bi aldeetatik.

$$0.9x-0.2y=19$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

\frac{3x}{10} eta \frac{9x}{10} berdintzeko, biderkatu 0.9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

Sinplifikatu.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

Egin 0.27x-0.06y=5.7 ken 0.27x-0.45y=26.1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Gehitu \frac{27x}{100} eta -\frac{27x}{100}. Sinplifikatu egiten dira \frac{27x}{100} eta -\frac{27x}{100}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Gehitu -\frac{9y}{20} eta \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

Gehitu 26.1 eta -5.7 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.39y=20.4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.39 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Ordeztu -\frac{680}{13} y balioarekin 0.9x-0.2y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

Egin -0.2 bider -\frac{680}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

Egin ken \frac{136}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{370}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$