Resolver {l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.3x+y=4.8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.3x=-y+4.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

Egin \frac{10}{3} bider -y+4.8.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

Ordeztu -\frac{10y}{3}+16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=11).

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -y.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{15}{13}$$

Ordeztu \frac{15}{13} y balioarekin x=-\frac{10}{3}y+16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

Egin -\frac{10}{3} bider \frac{15}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

Gehitu 16 eta -\frac{50}{13}.

$$x=\frac{158}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

\frac{3x}{10} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

Sinplifikatu.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

Egin 0.3x-0.3y=3.3 ken 0.3x+y=4.8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

Gehitu \frac{3x}{10} eta -\frac{3x}{10}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{10} eta -\frac{3x}{10}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

Gehitu y eta \frac{3y}{10}.

$$1.3y=4.8-3.3$$

Gehitu 4.8 eta -3.3 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.3y=1.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{15}{13}$$

Ordeztu \frac{15}{13} y balioarekin x-y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

Gehitu \frac{15}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{158}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$