Resolver {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0,6x+2y=20$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$0,6x=-2y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0,6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Egin \frac{5}{3} bider -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Ordeztu \frac{-10y+100}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+y+2=-1).

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Egin -4 bider \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Gehitu \frac{40y}{3} eta y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Gehitu -\frac{400}{3} eta 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Gehitu \frac{394}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{43}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{391}{43}$$

Ordeztu \frac{391}{43} y balioarekin x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Egin -\frac{10}{3} bider \frac{391}{43}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Gehitu \frac{100}{3} eta -\frac{3910}{129} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{130}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0,6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

Egin -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 ken -2,4x-8y=-80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Gehitu -\frac{12x}{5} eta \frac{12x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{12x}{5} eta \frac{12x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Gehitu -8y eta -\frac{3y}{5}.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

Gehitu -80 eta 0,6.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

Gehitu 1,2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8,6y=-78,2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8,6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{391}{43}$$

Ordeztu \frac{391}{43} y balioarekin -4x+y+2=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Gehitu \frac{391}{43} eta 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Egin ken \frac{477}{43} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{130}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$