Resolver {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-0,6$$

$$y=-3,2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -0,3 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Gehitu 0,3 bi aldeetan.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

1,8 lortzeko, gehitu 1,5 eta 0,3.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$3x+3+y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x+y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$3x+y=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Gehitu \frac{3y}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0,2x=0,6y+1,8$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=5\left(0,6y+1,8\right)$$

Egin 5 bider \frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

Ordeztu 9+3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=-5).

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

Egin 3 bider 9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

Gehitu 9y eta y.

$$10y+27=-5$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Ordeztu -\frac{16}{5} y balioarekin x=3y+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

Egin 3 bider -\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

Gehitu 9 eta -\frac{48}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -0,3 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Gehitu 0,3 bi aldeetan.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

1,8 lortzeko, gehitu 1,5 eta 0,3.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$3x+3+y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x+y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$3x+y=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&-\frac{-0,6}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&\frac{0,2}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1,8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1,8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -0,3 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Gehitu 0,3 bi aldeetan.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

1,8 lortzeko, gehitu 1,5 eta 0,3.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$3x+3+y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x+y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$3x+y=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

\frac{x}{5} eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0,2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 0,2x+3\left(-0,6\right)y=3\times 1,8;0,2\times 3x+0,2y=0,2\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$0,6x-1,8y=5,4;0,6x+0,2y=-1$$

Egin 0,6x+0,2y=-1 ken 0,6x-1,8y=5,4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0,6x-0,6x-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Gehitu \frac{3x}{5} eta -\frac{3x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{5} eta -\frac{3x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Gehitu -\frac{9y}{5} eta -\frac{y}{5}.

$$-2y=5,4+1$$

Gehitu 5,4 eta 1.

$$-2y=6,4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Ordeztu -\frac{16}{5} y balioarekin 3x+y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

Gehitu \frac{16}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$