Resolver {l}{-x+3y=6}{x-7y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-21$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

Egin -1 bider -3y+6.

$$x=3y-6$$

Ordeztu -6+3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-7y=14).

$$3y-6-7y=14$$

Gehitu 3y eta -7y.

$$-4y-6=14$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=3y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

Egin 3 bider -5.

$$x=-15-6$$

Gehitu -6 eta -15.

$$x=-21$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-21,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-21,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

-x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

Sinplifikatu.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

Egin -x+7y=-14 ken -x+3y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-7y=6+14$$

Gehitu 3y eta -7y.

$$-4y=6+14$$

Gehitu 6 eta 14.

$$-4y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x-7y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

Egin -7 bider -5.

$$x+35=14$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-21$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-21,y=-5$$