Resolver {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x+4y=24$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-4y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Ordeztu \frac{y}{2}-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+7y=28).

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Egin -7 bider \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Gehitu -\frac{7y}{2} eta 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{1}{2}y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Egin \frac{1}{2} bider 2.

$$x=1-3$$

Gehitu -3 eta 1.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

-8x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Sinplifikatu.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Egin 56x-56y=-224 ken 56x-28y=-168 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Gehitu 56x eta -56x. Sinplifikatu egiten dira 56x eta -56x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-28y+56y=-168+224$$

Gehitu -28y eta 56y.

$$28y=-168+224$$

Gehitu -168 eta 224.

$$28y=56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 28 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -7x+7y=28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+7\times 2=28$$

Egin 7 bider 2.

$$-7x+14=28$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$