Resolver {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-7x-2y=14$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=2y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

Egin -\frac{1}{7} bider 14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

Ordeztu -\frac{2y}{7}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+6y=18).

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

Egin 6 bider -\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

Gehitu -\frac{12y}{7} eta 6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{30}{7}y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{30}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=-\frac{2}{7}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

Egin -\frac{2}{7} bider 7.

$$x=-2-2$$

Gehitu -2 eta -2.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

-7x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

Sinplifikatu.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

Egin -42x-42y=-126 ken -42x-12y=84 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

Gehitu -42x eta 42x. Sinplifikatu egiten dira -42x eta 42x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+42y=84+126$$

Gehitu -12y eta 42y.

$$30y=84+126$$

Gehitu 84 eta 126.

$$30y=210$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin 6x+6y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+6\times 7=18$$

Egin 6 bider 7.

$$6x+42=18$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=7$$