Resolver {l}{-6x-4y=2}{2x+8y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x-4y=2$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=4y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(4y+2\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider 4y+2.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+8y=26).

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=26$$

Egin 2 bider \frac{-2y-1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+8y=26$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta 8y.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}=26$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{20}{3}y=\frac{80}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{20}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider 4.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta -\frac{8}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{6}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{10}\times 26\\\frac{1}{20}\times 2+\frac{3}{20}\times 26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

-6x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-6\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 2,-6\times 2x-6\times 8y=-6\times 26$$

Sinplifikatu.

$$-12x-8y=4,-12x-48y=-156$$

Egin -12x-48y=-156 ken -12x-8y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x-8y+48y=4+156$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y+48y=4+156$$

Gehitu -8y eta 48y.

$$40y=4+156$$

Gehitu 4 eta 156.

$$40y=160$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 2x+8y=26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+8\times 4=26$$

Egin 8 bider 4.

$$2x+32=26$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$