Resolver {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x+5y=1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

Ordeztu \frac{5y-1}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+4y=-10).

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

Egin 6 bider \frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

Gehitu 5y eta 4y.

$$9y-1=-10$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

Egin \frac{5}{6} bider -1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

Gehitu -\frac{1}{6} eta -\frac{5}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

-6x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

Sinplifikatu.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

Egin -36x-24y=60 ken -36x+30y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

Gehitu -36x eta 36x. Sinplifikatu egiten dira -36x eta 36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$30y+24y=6-60$$

Gehitu 30y eta 24y.

$$54y=6-60$$

Gehitu 6 eta -60.

$$54y=-54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 6x+4y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

Egin 4 bider -1.

$$6x-4=-10$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-1$$