Resolver {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$5y-10x=-15$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+y=-12$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-y-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Ordeztu \frac{12+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-10x+5y=-15).

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Egin -10 bider \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Gehitu -2y eta 5y.

$$3y-24=-15$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Gehitu \frac{12}{5} eta \frac{3}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$5y-10x=-15$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10x bi aldeetatik.

$$5y-10x=-15$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

-5x eta -10x berdintzeko, biderkatu -10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Sinplifikatu.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Egin 50x-25y=75 ken 50x-10y=120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+25y=120-75$$

Gehitu -10y eta 25y.

$$15y=120-75$$

Gehitu 120 eta -75.

$$15y=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin -10x+5y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Egin 5 bider 3.

$$-10x+15=-15$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=3$$