Resolver {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x-2y=-16$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=2y-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-5y=11).

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

Egin 7 bider -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

Gehitu -\frac{7y}{2} eta -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2.

$$x=-1+4$$

Gehitu 4 eta -1.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

-4x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

Egin -28x+20y=-44 ken -28x-14y=-112 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

Gehitu -28x eta 28x. Sinplifikatu egiten dira -28x eta 28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y-20y=-112+44$$

Gehitu -14y eta -20y.

$$-34y=-112+44$$

Gehitu -112 eta 44.

$$-34y=-68$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -34 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 7x-5y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-5\times 2=11$$

Egin -5 bider 2.

$$7x-10=11$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$