Resolver {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x+3y=13$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-3y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -3y+13.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

Ordeztu \frac{3y-13}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (15x+3y=-6).

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

Egin 15 bider \frac{3y-13}{4}.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

Gehitu \frac{45y}{4} eta 3y.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

Gehitu \frac{195}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{57}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

Egin \frac{3}{4} bider 3.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

Gehitu -\frac{13}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Egin 15x+3y=-6 ken -4x+3y=13 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x-15x=13+6$$

Gehitu -4x eta -15x.

$$-19x=13+6$$

Gehitu 13 eta 6.

$$-19x=19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 15x+3y=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

Egin 15 bider -1.

$$-15+3y=-6$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=3$$