Resolver {l}{-3x+5y=1}{4x-y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-3x+5y=1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Egin -\frac{1}{3} bider -5y+1.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{5y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=10).

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

Egin 4 bider \frac{5y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

Gehitu \frac{20y}{3} eta -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider 2.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

-3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Sinplifikatu.

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

Egin -12x+3y=-30 ken -12x+20y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-3y=4+30$$

Gehitu 20y eta -3y.

$$17y=4+30$$

Gehitu 4 eta 30.

$$17y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 4x-y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-2=10$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$