Resolver {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4a bi aldeetatik.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a lortzeko, konbinatu -3a eta -4a.

$$-7a=2b-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Egin -\frac{1}{7} bider 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Ordeztu \frac{-2b+3}{7} balioa a balioarekin beste ekuazioan (-2a-b=0).

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Egin -2 bider \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Gehitu \frac{4b}{7} eta -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Gehitu \frac{6}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-2$$

Ordeztu -2 b balioarekin a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Egin -\frac{2}{7} bider -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Gehitu \frac{3}{7} eta \frac{4}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4a bi aldeetatik.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a lortzeko, konbinatu -3a eta -4a.

$$-7a=2b-3$$

Kendu 2b bi aldeetatik.

$$-7a-2b=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. a aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2a.

$$-b=2a$$

Kendu 2a bi aldeetatik.

$$-b-2a=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=1,b=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4a bi aldeetatik.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a lortzeko, konbinatu -3a eta -4a.

$$-7a=2b-3$$

Kendu 2b bi aldeetatik.

$$-7a-2b=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. a aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2a.

$$-b=2a$$

Kendu 2a bi aldeetatik.

$$-b-2a=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

-7a eta -2a berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Sinplifikatu.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Egin 14a+7b=0 ken 14a+4b=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Gehitu 14a eta -14a. Sinplifikatu egiten dira 14a eta -14a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4b-7b=6$$

Gehitu 4b eta -7b.

$$-3b=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$b=-2$$

Ordeztu -2 b balioarekin -2a-b=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2a=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=-2$$