Resolver {l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+3y=9$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-3y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -3y+9.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{-9+3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-9y=-31).

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

Egin 7 bider \frac{-9+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

Gehitu \frac{21y}{2} eta -9y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

Gehitu \frac{63}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{1}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

Gehitu -\frac{9}{2} eta \frac{1}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

-2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

Sinplifikatu.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

Egin -14x+18y=62 ken -14x+21y=63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

Gehitu -14x eta 14x. Sinplifikatu egiten dira -14x eta 14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y-18y=63-62$$

Gehitu 21y eta -18y.

$$3y=63-62$$

Gehitu 63 eta -62.

$$3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin 7x-9y=-31 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

Egin -9 bider \frac{1}{3}.

$$7x-3=-31$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$