Resolver {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x-3y=9$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=3y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider 9+3y.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

Ordeztu \frac{-3y-9}{10} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+5y=-2).

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

Egin -5 bider \frac{-3y-9}{10}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

Egin -\frac{3}{10} bider -1.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

Gehitu -\frac{9}{10} eta \frac{3}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

-10x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

Egin 50x-50y=20 ken 50x+15y=-45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y+50y=-45-20$$

Gehitu 15y eta 50y.

$$65y=-45-20$$

Gehitu -45 eta -20.

$$65y=-65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 65 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -5x+5y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

Egin 5 bider -1.

$$-5x-5=-2$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$