Resolver {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x+3y=-2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=-3y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=8).

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

Egin 4 bider \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Gehitu \frac{6y}{5} eta -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Egin ken \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=36$$

Ordeztu 36 y balioarekin x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

Egin \frac{3}{10} bider 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta \frac{54}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=11$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11,y=36$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=11,y=36$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

-10x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Sinplifikatu.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

Egin -40x+10y=-80 ken -40x+12y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

Gehitu -40x eta 40x. Sinplifikatu egiten dira -40x eta 40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-10y=-8+80$$

Gehitu 12y eta -10y.

$$2y=-8+80$$

Gehitu -8 eta 80.

$$2y=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=36$$

Ordeztu 36 y balioarekin 4x-y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-36=8$$

Gehitu 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=11$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11,y=36$$