Resolver {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. -x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta y-x biderkatzeko.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y lortzeko, konbinatu y eta -4y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 lortzeko, biderkatu -1 eta -1.

$$x-3y+4x=8$$

5x lortzeko, konbinatu x eta 4x.

$$5x-3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+3 biderkatzeko.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 lortzeko, 5 balioari kendu 5.

$$3x+2y=20$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=8$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+8}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=20).

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Egin 3 bider \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Gehitu \frac{9y}{5} eta 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Egin ken \frac{24}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta \frac{12}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. -x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta y-x biderkatzeko.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y lortzeko, konbinatu y eta -4y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 lortzeko, biderkatu -1 eta -1.

$$x-3y+4x=8$$

5x lortzeko, konbinatu x eta 4x.

$$5x-3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+3 biderkatzeko.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 lortzeko, 5 balioari kendu 5.

$$3x+2y=20$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. -x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta y-x biderkatzeko.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y lortzeko, konbinatu y eta -4y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 lortzeko, biderkatu -1 eta -1.

$$x-3y+4x=8$$

5x lortzeko, konbinatu x eta 4x.

$$5x-3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+3 biderkatzeko.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 lortzeko, 5 balioari kendu 5.

$$3x+2y=20$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Sinplifikatu.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Egin 15x+10y=100 ken 15x-9y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-10y=24-100$$

Gehitu -9y eta -10y.

$$-19y=24-100$$

Gehitu 24 eta -100.

$$-19y=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 3x+2y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times 4=20$$

Egin 2 bider 4.

$$3x+8=20$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=4$$